【題目】如圖,點(diǎn)O在邊長為8的正方形ABCD的AD邊上運(yùn)動(dòng)(4<C)A<8),以O(shè)為圓心,OA長為半徑作圓,交CD于點(diǎn)E,連接OE、AE,過點(diǎn)E作直線EF交BC于 點(diǎn)F,且∠CEF=2∠DAE.
(1)求證:直線EF為⊙O的切線;
(2)在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)DE=x,解決下列問題:
①求OD·CF的最大值,并求此時(shí)半徑的長;
②試猜想并證明△CEF的周長為定值.
【答案】(1)證明見解析;(2)16,5;證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)由OA=OB得∠OAE=∠OEA,則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOE=2∠DAE,由于∠CEF=2∠DAE,則∠CEF=∠DOE,加上∠DOE+∠DEO=90°,則∠CEF+∠DEO=90°,所以∠OEF=90°,于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線EF為⊙O的切線;
(2)由于∠CEF=∠DOE,根據(jù)三角形相似的判定得到Rt△DOE∽Rt△CEF,利用相似比得ODCF=DEEC=x(8-x),配方得ODCF=-(x-4)2+16,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x=4時(shí),ODCF的值最大,最大值為16;設(shè)此時(shí)半徑為R,則OA=OE=R,OD=8-R,在Rt△ODE中,根據(jù)勾股定理可計(jì)算出此時(shí)半徑為5;
(3)在Rt△ODE中,利用勾股定理得到(8-OE)2+x2=OE2,則OE=4+,OD=8-OE=4-,再利用Rt△DOE∽Rt△CEF得到相似比 ,即 ,可計(jì)算得CF=,EF=,然后根據(jù)三角形周長的定義得到△CEF的周長得到CE+CF+EF=8-x++,再進(jìn)行分式的化簡運(yùn)算即可得到△CEF的周長為16.
試題解析:(1)證明:∵OA=OB,
∴∠OAE=∠OEA,
∴∠DOE=2∠DAE,
∵∠CEF=2∠DAE,
∴∠CEF=∠DOE,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠D=90°,
∴∠DOE+∠DEO=90°,
∴∠CEF+∠DEO=90°,
∴∠OEF=90°,
∴OE⊥EF,
∴直線EF為⊙O的切線;
(2)解:∵∠CEF=∠DOE,
∴Rt△DOE∽Rt△CEF,
∴,
∴ODCF=DEEC,
∵DE=x,
∴EC=8-x,
∴ODCF=x(8-x)
=-x2+8x
=-(x-4)2+16,
當(dāng)x=4時(shí),ODCF的值最大,最大值為16,
設(shè)此時(shí)半徑為R,則OA=OE=R,OD=8-R,
在Rt△ODE中,
∵OD2+DE2=OE2,
∴(8-R)2+42=R2,解得R=5,
即此時(shí)半徑為5;
(3)猜想△CEF的周長為16.
在Rt△ODE中,OD2+DE2=OE2,即(8-OE)2+x2=OE2,
∴OE=4+,
∴OD=8-OE=4-,
∵Rt△DOE∽Rt△CEF,
∴,即
∴CF=,EF=,
∴△CEF的周長=CE+CF+EF= CE+CF+EF=8-x++=16.
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A. 8.1米 B. 17.2米 C. 19.7米 D. 25.5米
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(1)A、B兩種商品的單價(jià)分別是多少元?
(2)已知該商店購買B商品的件數(shù)比購買A商品的件數(shù)的2倍少4件,如果需要購買A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件,且該商店購買的A、B兩種商品的總費(fèi)用不超過296元,那么該商店有哪幾種購買方案?
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A.方差
B.平均數(shù)
C.中位數(shù)
D.眾數(shù)
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【題目】請你根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義和不等式的解集的意義,寫出下列解集.
(1)不等式x2>0的解集;
(2)不等式|x|>0的解集.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=50°,∠B=60°,AE⊥BC于點(diǎn)E,CD平分∠ACB且分別與AB、AE交于點(diǎn)D、F,求∠AFC的度數(shù).
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