Question

16．已知：如圖，分別以BM、CM為邊，向△BMC形外作等邊三角形ABM、CDM，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA中點．
（1）猜測四邊形EFGH的形狀；
（2）證明你的猜想；
（3）三角形BMC形狀的改變是否對上述結(jié)論有影響？

Answer 1

分析 （1）由題意可猜測四邊形EFGH是菱形；
（2）首先連接AC，BD，易證得△AMC≌△BMD（SAS），即可得AC=BD，又由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA中點，則可證得EF=FG=GH=EH，即可得四邊形EFGH是菱形；
（3）由（2）得：△BMC形狀的改變對上述結(jié)論沒有影響．

解答 （1）解：四邊形EFGH是菱形；

（2）證明：連接AC，BD，
∵△ABM和△CDM是等邊三角形，
∴AM=BM，CM=DM，∠AMB=∠CMD=60°，
∴∠AMC=∠BMD，
在△AMC和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BM}\\{∠AMC=∠BMD}\\{CM=DM}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA中點，
∴EF=GH=$\frac{1}{2}$AC，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是菱形；

（3）解：△BMC形狀的改變對上述結(jié)論沒有影響．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．