Question

已知關于x的函數y=ax²+x+1（a為常數）
（1）若函數的圖象與x軸恰有一個交點，求a的值；
（2）若函數的圖象是拋物線，且頂點始終在x軸上方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）需考慮a為0和不為0的情況，當a=0時圖象為一直線；當a≠0時圖象是一拋物線，由判別式△=b²-4ac判斷；
（2）根據拋物線的縱坐標的頂點公式列出不等式則可解．
解答：解：
（1）當a=0時，函數為y=x+1，它的圖象顯然與x軸只有一個交點（-1，0）．
當a≠0時，依題意得方程ax²+x+1=0有兩等實數根．
∴△=1-4a=0，
∴a=．
∴當a=0或a=時函數圖象與x軸恰有一個交點；

（2）依題意有，
當4a＞0，4a-1＞0，解得a＞；
當4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞或a＜0．
當a＞或a＜0時，拋物線頂點始終在x軸上方．
點評：函數可能是一次函數，也可能是二次函數；只有一個交點，那么b²-4ac=0；頂點在x軸上方，那么頂點縱坐標大于0．