Question

如圖甲，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)BD=m，CE=n
（1）求DE的長(zhǎng)（用含m，n的代數(shù)式表示）；
（2）如圖乙，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a（0°＜a＜180°），設(shè)BD=m，CE=n．問DE的長(zhǎng)如何表示？并請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由條件可證明△ADB≌△CEA，可得到AE=BD，AD=CE，從而可表示出DE；
（2）方法同（1）證明△ADB≌△CEA，可得到AE=BD，AD=CE，從而可表示出DE．

解答：解：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中

∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE=m+n；
（2）DE=m+n，證明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中

∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAE AB=AC

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE=m+n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．