Question

11．在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖1，點D是CA延長線上一點，點E在線段AB上，且AD=AE，連接BD和CE，延長CE交BD于點F，連接AF．求證：BD=CE；
（2）在（1）得條件下，求∠AFD的度數(shù)；
（3）如圖2，點P是△ABC外一點，∠APB=45°，猜想PA、PB、PC三條線段長度之間存在的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由兩個等腰直角三角形得到兩個三角形全等的條件，即可；
（2）利用（1）得到的結(jié)論，判斷出點A，E，F(xiàn)，D四點共圓，即可；
（3）利用三角形相似的判定和性質(zhì)，再利用勾股定理，即可．

解答 證明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAB=90°，
在Rt△EAC和Rt△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EAC≌Rt△DAB，
∴CE=BD；
（2）如圖1，

由（1）有，Rt△EAC≌Rt△DAB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠AEC=∠ABD+∠BEF=90°，
∵∠DAE=90°，
∴點A，E，F(xiàn)，D四點共圓，
∴∠AFE=∠ADE=45°，
∴∠AFD=45°；
（3）PA、PB、PC三條線段長度之間存在的等量關(guān)系為PB-PC=$\sqrt{2}$PA．
如圖2，在PB上截取PM=PC，

由（2）有，∠BPC=90°，
∴CM=$\sqrt{2}$PC，∠PMC=45°，
∴∠BMC=135°，
∵∠APB=45°，
∴∠APC=135°，
∴∠APC=∠BMC，
∵∠ACP+∠ACM=∠BCM+∠ACM=45°，
∴∠ACP=∠BCM，
∴△APC∽△BMC，
∴$\frac{PC}{CM}=\frac{PA}{MB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BM=$\sqrt{2}$PA，
∴PB=PM+BM=PC+$\sqrt{2}$PA，
∴PB-PC=$\sqrt{2}$PA．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，判定四點共圓的方法和同弧所對圓周角相等，判斷四點共圓是解本題的關(guān)鍵，也是難點．