Question

19．定義：圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)（非切點(diǎn)）的圓，稱為這個(gè)三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”．

（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則AC邊上的伴隨圓的半徑為2．
（2）如圖2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，畫草圖并直接寫出它的所有伴隨圓的半徑．
（3）如圖3，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P在邊AB上，AP=2BP，D為AC中點(diǎn)，且∠CPD=90°．
①求證：△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓；
②求cos∠PDC的值．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)勾股定理求得AC的長，然后依據(jù)切線的性質(zhì)可知AC為圓的直徑，故此可求得△BAC的伴隨圓的半徑等于AC的一半；
（2）當(dāng)O在BC上時(shí)，連接OD，過點(diǎn)A作AE⊥BC．由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AE=4，依據(jù)切線的性質(zhì)可證明OD⊥AB，接下來證明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑；當(dāng)O在AB上且圓O與BC相切時(shí)，連接OD、過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．先證明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑，當(dāng)O在AB上且圓O與AC相切時(shí)，連接OD、過點(diǎn)B作BF⊥AC，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．先依據(jù)面積法求得BF的長，然后再證明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑；
（3）①連接OB、OP，先證明$\frac{AD}{AO}=\frac{PA}{AB}$，從而得到PD∥OB，于是可得到∠1=∠4，接下來證明△BCO≌△BPO，從而可證明∠BPO=90°；②設(shè)圓O的半徑為r，依據(jù)勾股定理定理依據(jù)求得PA、BC、OB的長，從而可求得cos∠1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$接下來，由∠PDC=∠1可求得cos∠PDC=的值．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4．
∵BC是圓的切線，∠BCA=90°，
∴AC為圓的直徑．
∴AC邊上的半隨圓的半徑為2．
故答案為：2．
（2）當(dāng)O在BC上時(shí)，如圖（1）所示：連接OD，過點(diǎn)A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=3．
在△AEB中，由勾股定理可知AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4．
∵AB與⊙O相切，
∴OD⊥AB．
∴∠BDO=∠BEA=90°．
又∵∠OBD=∠EBA，
∴△ODB∽△AEB．
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{OB}{AB}$．
設(shè)⊙O的半徑為r．在OB=6-r．
∴$\frac{r}{4}=\frac{6-r}{5}$．
∴r=$\frac{8}{3}$．
∴△ABC的BC邊上的伴隨圓的半徑為$\frac{8}{3}$．（3分）
當(dāng)O在AB上時(shí)，如圖（2），連接OD、過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．

∵BC與⊙O相切，
∴OD⊥BC．
又∵AE⊥BC，
∴OD∥AE．
∴△BOD∽△BAE．
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OD}{AE}$．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=5-r．
∴$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4}$．
∴r=$\frac{20}{9}$．
如圖（3）所示：連接OD、過點(diǎn)B作BF⊥AC，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×BF．
∴BF=4.8．
∵AC與⊙O相切，
∴DO⊥AC．
∴DO∥BF．
∴△AOD∽△ABF．
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OD}{BF}$即$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4.8}$．
∴r=$\frac{120}{49}$．
綜上所述，△ABC的伴隨圓的半徑分為$\frac{8}{3}$或$\frac{20}{9}$或$\frac{120}{49}$．
（3）①證明：如圖（4）連接OP、OB．

∵△CPD為直角三角形，
∴△CPD的外接圓圓心O在CD中點(diǎn)．
設(shè)⊙O的半徑為r，則DC=2r，OA=3r．
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{2}{3}$．
∵PA=2BP，
∴$\frac{PA}{AB}=\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{PA}{AB}$．
∴PD∥OB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵∠3=∠2，
∴∠1=∠4．
在△BCO和△BPO中$\left\{\begin{array}{l}{OC=OP}\\{∠1=∠4}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△BCO≌△BPO．
∴∠BPO=∠BCO=90°．
∴AB是圓O的切線．
∴△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓．
②解：如圖（4）設(shè)圓O的半徑為r．
∵在Rt△OAP中，OA=3r，OP=r，
∴PA=$\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r．
∴AB=3$\sqrt{2}$r．
∵在Rt△ABC中，AC=4r，AB=3$\sqrt{2}$r，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$r．
∵在Rt△OBC中，OC=r，BC=$\sqrt{2}$r，
∴OB=$\sqrt{O{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$r．
∴cos∠1=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{r}{\sqrt{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠PDC=∠1，
∴cos∠PDC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)和判定、圓的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，分類討論是解答問題（2）的關(guān)鍵，證得AB是圓O的切線是證明問題（3）的關(guān)鍵．