Question

14．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-x²+2mx-m²+2的頂點(diǎn)P在第一象限，且這條拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B都在正半軸，其中點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q．
（1）若PQ=OQ，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物錢的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，在線段OQ上截取OE=OD，直線DE與己知拋物線交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)N在x軸上方，分別記△NCE，△MEQ的面積為S₁和S₂，試比較S₁和S₂的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)OP=OQ即可求出m解決問(wèn)題．
（2）利用方程組切線直線DE與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用求差法求出S₁-S₂，再根據(jù)m的取值范圍確定其大�。�

解答 解：（1）如圖1中，
∵y=-x²+2mx-m²+2=-（x-m）²+2，
∴頂點(diǎn)P（m，2），OQ=2，
∵OP=OQ，
∴m=2，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-2，
令y=0，則-x²+4x-2=0，
∴x=2±$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（2-$\sqrt{2}$，0）．
（2）如圖2中，由題意點(diǎn)E（0，m），點(diǎn)D（m，0），
∴直線ED解析式為y=-x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{y=-{x}^{2}+2mx-{m}^{2}+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M（m+2，-2），點(diǎn)N（m-1，1），
∴S₁=$\frac{1}{2}$（m+m²-2）•（m-1）=$\frac{1}{2}$（m-1）²（m+2），
S₂=$\frac{1}{2}$（2-m）（m+2），
∴S₁-S₂=$\frac{1}{2}$（m+2）（m²-m-1），
∵點(diǎn)E在線段OQ上，∴0≤m≤2，
∵這條拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B都在正半軸，開(kāi)口向下，
∴c＜0，即-m²+2＜0，
∵0≤m≤2，
∴$\sqrt{2}$＜m≤2
∴當(dāng)$\sqrt{2}$＜m＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，S₁-S₂＜0，即S₁＜S₂．
當(dāng)m=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，S₁=S₂，
當(dāng)$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜m≤2時(shí)，S₁-S₂＞0，即S₁＞S₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較S₁，S₂的大小，題目比較難，是中考?jí)狠S題．