Question

3．已知：如圖，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD=AE，AE⊥BE，垂足為E，連結(jié)DE．
（1）求證：AB平分∠DAE；
（2）若△ABC是等邊三角形，且邊長為2cm，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件證明Rt△ADB≌Rt△AEB（HL），得到∠EAB=∠EAD，所以AB平分∠DAE；
（2）利用△ABC是等邊三角形，且邊長為2cm，求出AD，再證明△ADE為等邊三角形，即可解答．

解答 解：（1）∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠AEB=90°=∠ADB，
在Rt△ADB和Rt△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△AEB（HL），
∴∠EAB=∠DAB，
∵AB平分∠DAE，
（2）如圖，

∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ABC=60°，BD=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BAD=30°，
∴AD=ABsin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵Rt△ADB≌Rt△AEB，
∴AD=AE，∠EAB=∠DAB=30°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE=AD=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明Rt△ADB≌Rt△AEB．