Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，AC=20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為5cm/s；同時(shí)點(diǎn)M由點(diǎn)C出發(fā)，沿CA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，過點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜5）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)；
（2）連接PN，是否存在某一時(shí)刻t，使S_{四邊形AMNP}=48？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接PM、PN，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)
t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：∵M(jìn)N∥AB，
∴=，
∴=，
∴MN=5t．

（2）解：存在，
理由是：
在△ACB中，AC=20，AB=25，由勾股定理得：BC=15，
∵M(jìn)N∥AP，
∴△CMN∽△CAB，
∴==，
∴=，
CN=3t，CM=4t，
∴AM=20-4t，
由（1）中得到MN=5t，而AP=5t，可知MN=AP，
由于MN∥AP，
可知四邊形AMNP是平行四邊形，
S_{四邊形AMNP}=AM×CN=（20-4t）3t=48，
解得t=1或t=4
過P作PQ⊥BC于Q，
∴當(dāng)t是1s或4s時(shí)，使S_{四邊形AMNP}=48，


（3）解：存在，
∵P在線段MN的垂直平分線上，
∴PN=PM，
又PN=AM，
∴PM=AM，
過M作MD⊥AB于D，
則AD=DP=，
由△AMD∽△ABC，
得，
，
解得t=．
分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可；
（2）分別求出△ABC的面積、△CMN的面積、△BNP的面積，即可求出答案；
（3）連接PN、PM，過M作MD⊥AB于D，推出AM=MP，證△ADM∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題型較好，有一定難度．