Question

如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過D點，交BC的延長線于E點，且OB*AC=160，有下列四個結(jié)論：
①雙曲線的解析式為y=

20

x

（x＞0）；②E點的坐標是（4，8）；③tan∠COA=

4

3

；④AC+OB=12

5

，
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,完全平方公式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,菱形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：過點C作CH⊥OA于H，運用菱形的面積公式可求出CH，然后根據(jù)勾股定理求出OH，從而可求出點C的坐標及tan∠COA的值；然后根據(jù)中點坐標公式可求出點D的坐標，運用待定系數(shù)法可求出雙曲線的解析式；由y_E=y_C就可求出點E的坐標；根據(jù)勾股定理可求出AC²+OB²，然后運用完全平方公式就可求出AC+OB的值．

解答：解：過點C作CH⊥OA于H，如圖所示．
∵A點的坐標為（10，0），
∴OA=10．
∵四邊形OABC是菱形，
∴OC=OA=10，S_菱形OABC=

1

2

OB•AC=OA•CH．
∵OB•AC=160，OA=10，
∴CH=8，
∴OH=

OC2-CH2

=

102-82

=6，
∴點C的坐標為（6，8），tan∠COA=

CH

OH

=

8

6

=

4

3

．
∵點C的坐標為（6，8），A點的坐標為（10，0），
∴線段AC的中點D的坐標為（

6+10

2

，

8+0

2

）即（8，4）．
∵雙曲線y=

k

x

（x＞0）經(jīng)過D點，
∴k=8×4=32，
∴雙曲線的解析式為y=

32

x

（x＞0）．
∵點E在雙曲線y=

32

x

（x＞0）上，且y_E=y_C=8，
∴x_E=4，即點E的坐標為（4，8）．
∵四邊形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OB=2OD，AC=2AD，
∴OB²+AC²=4OD²+4AD²=4OA²=400，
∴（AC+OB）²=AC²+OB²+2AC•OB=400+320=720，
∴AC+OB=

720

=12

5

．
綜上所述：正確的有②、③、④，共3個．
故選：D．

點評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求雙曲線的解析式、勾股定理、三角函數(shù)、中點坐標公式、完全平方公式等知識，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的面積公式求出OA邊上的高．