【題目】如圖,是將拋物線平移后得到的拋物線,其對(duì)稱軸為,與軸的一個(gè)交點(diǎn)為,另一交點(diǎn)為,與軸交點(diǎn)為

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

3)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象上一點(diǎn),若四邊形為平行四邊形,這樣的點(diǎn)是否存在?若存在,分別求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(1,4)(3)P、Q的坐標(biāo)是(0,3),(1,3)或(,)、(,

【解析】

試題分析:(1)已知拋物線的對(duì)稱軸,因而可以設(shè)出頂點(diǎn)式,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

(2)首先求得B和C的坐標(biāo),易證OBC是等腰直角三角形,過點(diǎn)N作NHy軸,垂足是H,設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是(a,﹣a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解;

(3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQOA,設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,即可求解.

試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+k.

把(﹣1,0)代入得0=﹣(﹣1﹣1)2+k,

解得k=4,

則拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;

(2)在y=﹣x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標(biāo)是(0,3),OC=3.

B的坐標(biāo)是(3,0),

OB=3,

OC=OB,則OBC是等腰直角三角形.

∴∠OCB=45°,

過點(diǎn)N作NHy軸,垂足是H.

∵∠NCB=90°,

∴∠NCH=45°,

NH=CH,

HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

設(shè)點(diǎn)N縱坐標(biāo)是(a,﹣a2+2a+3).

a+3=﹣a2+2a+3,

解得a=0(舍去)或a=1,

N的坐標(biāo)是(1,4);

(3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQOA,

設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,則﹣t2+2t+3=(t+1)+,

整理,得2t2﹣t=0,

解得t=0或

﹣t2+2t+3的值為3或

P、Q的坐標(biāo)是(0,3),(1,3)或(,)、(,).

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