Question

已知，如圖，E、F分別為ΔABC的邊BC、CA的中點(diǎn)，延長EF到D，使得DF=EF，連結(jié)DA，DC，AE.（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形.（2）若AB=AC，試證明四邊形AECD是矩形.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】（1）證明：∵E、F分別為ΔABC的邊BC、CA的中點(diǎn)

∴EF∥AB ,  EF=AB--------2分

∵DF=EF

∴EF=DE--------3分

∴AB =DE--------4分

∴四邊形ABED是平行四邊形--------5分

 （2）證明： ∵DF=EF   AF=CF

             ∴四邊形AECD是平行四邊形--------6分

    ∵AB=AC  AB =DE

∴AC =DE--------7分

        ∴  四邊形ABCD是矩形-------8分

或證明：    ∵DF=EF   AF=CF

             ∴四邊形AECD是平行四邊形--------6分

    ∵AB=AC  BE =EC

∴∠AEC =90°--------7分

        ∴  四邊形ABCD是矩形--------8分

（1）由已知可得：EF是△ABC的中位線，則可得EF∥AB，EF= AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ABED是平行四邊形；

（2）由（1）可得四邊形AECD是平行四邊形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，可得四邊形AECD是矩形