Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B與∠C的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC，分別交AB，AC于M，N，連接AO．
（1）證明：△BOC是等腰三角形．
（2）BM與CN相等嗎？對(duì)你的結(jié)論說(shuō)明理由．
（3）證明：AO⊥MN．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠OBC=∠OCB，即可得到答案．
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠MBO=∠CBO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBO=∠MOB，從而得到∠MBO=∠MOB，即可得證；
（3）先由AB=AC得出∠ABC=∠ACB，再根據(jù)BN、CN分別平分∠ABC，∠ACB得出∠OBC=∠OCB，故△ABO≌△ACO，所以MO=NO，再由AB=AC即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠B與∠C的角平分線交于點(diǎn)O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形；

（2）解：BM=CN，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AB-AM=AC-AN，
即BM=CN；

（3）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BN、CN分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△ABO≌△ACO，
∴MO=NO．
∵AB=AC，
∴AO⊥MN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．