Question

已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F　，使CF＝CE，連結DF，交BE的延長線于點G，連結OG．

⑴ 求證：△BCE≌△DCF；

⑵ OG與BF有什么數(shù)量關系？證明你的結論；

⑶ 若GE·GB＝4－2，求　正方形ABCD的面積．

  

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，CE=CF，

∴△BCE≌△DCF．                                                   

（2）解：OG=BF．

理由如下：∵△BCE≌△DCF，

∴∠CEB=∠F，

∵∠CEB=∠DEG，

∴∠F=∠DEG，

∵∠F+∠GDE=90°，

∴∠DEG+∠GDE=90°，

∴BG⊥DF，

∴∠BGD=∠BGF，

又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，

∴△BGD≌△BGF，

∴DG=GF，

∵O正方形ABCD的中心，

∴DO=OB，

∴OG是△DBF的中位線，

∴OG=BF．                                                    

（3）解：設BC=x，則DC=x，BD=x，

由（2）知，△BGF≌△BGD，

∴BF=BD，

∴CF=（-1）x，

∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，

∴△GDB∽△GED，

∴，

∴GD²=GE•GB=4-2，

∵DC²+CF²=（2GD）²，

∴x²+（-1）²x²=4（4-2）²，

（4-2）x²=4（4-2），

x²=4，

正方形ABCD的面積是4個平方單位．                      

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法尋找條件．

（2）因為O是BD的中點，結合已知條件，知道證明G是DF中點即可．

（3）要求正方形的面積，求出邊長的平方即可，為此要找到一個關于邊長的方程，因為已知中有直角，根據(jù)勾股定理，結合已知條件，列出方程，求出答案．