Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延長BC到E，使CE=AD．
（1）寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對說明全等的理由；
（2）探究當(dāng)?shù)妊�梯形ABCD的高DF是多少時，對角線AC與BD互相垂直？請回答并說明理由．

Answer 1

解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；
①△CDA≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．
又∵DA=CE，CD=DC，
∴△CDA≌△DCE．
②△BAD≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．
又∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD=∠DCE．
又∵AB=CD，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE．

（2）當(dāng)?shù)妊�梯形ABCD的高DF=3時，對角線AC與BD互相垂直．
理由是：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB．
又∵AD=CE，AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC=DE，AC∥DE．
∴DB=DE．
則BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，
∴BF=FE=3． 
∵DF=3，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．
（說明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同樣給滿分．）
分析：（1）與△DCE全等的三角形有：△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，可以用全等三角形的判定方法來進(jìn)行驗(yàn)證．
（2）需要根據(jù)已知條件及等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)得出BF=FE=3，因?yàn)镈F=3，則∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，從而推出∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，根據(jù)平行的性質(zhì)得出∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．
點(diǎn)評：此題考查了全等三角形有判定方法及等腰梯形的性質(zhì)，要求學(xué)生在做題時要靈活運(yùn)用．