Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A即停止；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止．點(diǎn)P、Q的速度的速度都是1cm/s，連結(jié)PQ，AQ，CP，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形？
（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)四邊形ABQP是矩形時(shí)，BQ=AP，據(jù)此求得t的值；
（2）當(dāng)四邊形AQCP是菱形時(shí)，AQ=AC，列方程求得運(yùn)動的時(shí)間t；
（3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長=4t，面積=矩形的面積-2個直角三角形的面積．

解答 解：（1）當(dāng)四邊形ABQP是矩形時(shí)，BQ=AP，即：t=8-t，
解得t=4．
答：當(dāng)t=4時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

（2）設(shè)t秒后，四邊形AQCP是菱形
當(dāng)AQ=CQ，即$\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}$=8-t時(shí)，四邊形AQCP為菱形．
解得：t=3．
答：當(dāng)t=3時(shí)，四邊形AQCP是菱形；

（3）當(dāng)t=3時(shí)，CQ=5，則周長為：4CQ=20cm，
面積為：4×8-2×$\frac{1}{2}$×3×4=20（cm²）．

點(diǎn)評 本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì)．解決此題注意結(jié)合方程的思想解題．