Question

4．如圖，已知A，B兩點的坐標分別是A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點C和點D（-1，a）．
（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OD，求△COD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A，B兩點的坐標分別是A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），可以求得直線AB的解析式，根據(jù)直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點C和點D（-1，a），可以求得點D的坐標，從而可以求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點C和點D（-1，a），可以求得點C的坐標，由圖可知△COD的面積等于△DOB與△OBC的面積之和，本題得以解決．

解答 解：（1）設(shè)過點A、B的直線的解析式為y=kx+b，
∵A，B兩點的坐標分別是A（0，2$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
即直線AB的解析式為y=$-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，
將x=-1代入y=$-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，得y=3$\sqrt{3}$，
∴點D的坐標為（-1，3$\sqrt{3}$），
∵點D在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴$3\sqrt{3}=\frac{m}{-1}$，
解得，m=-3$\sqrt{3}$，
即反比例函數(shù)的解析式是$y=\frac{-3\sqrt{3}}{x}$；
（2）連接OD，如右圖所示，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{-3\sqrt{3}}{x}}\\{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴點C的坐標是（3，$-\sqrt{3}$），
∵點D的坐標是（-1，3$\sqrt{3}$），點B的坐標是（2，0），
∴S_△COD=S_△DOB+S_△OBC=$\frac{2×3\sqrt{3}}{2}+\frac{2×\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
即△COD的面積是4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．