Question

對于正整數(shù)n，規(guī)定n!=1×2×…×n．則乘積1!×2!×…×9!的所有約數(shù)中，是完全平方數(shù)的共有

672

個．

Answer 1

分析：先把1!×2!×…×9!的積分解質(zhì)因數(shù)，再求出最大完全平方約數(shù)的平方根的個數(shù)，再根據(jù)積的約數(shù)的個數(shù)即是原數(shù)完全平方因數(shù)的個數(shù)即可得出結(jié)論．

解答：解：把積分解質(zhì)因數(shù)，得30個2，13個3，5個5，3個7；
最大完全平方約數(shù)的平方根為15個2，6個3，2個5，1個7；
它的約數(shù)的個數(shù)即是原數(shù)完全平方因數(shù)的個數(shù)，即（15+1）×（6+1）×（2+1）×（1+1）=672個．
故答案為：672．

點(diǎn)評：本題考查的是完全平方數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把1!×2!×…×9!的積分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)它的約數(shù)的個數(shù)即是原數(shù)完全平方因數(shù)的個數(shù)即可得出結(jié)論．