Question

7．若點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為（　�。�

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，從而可以求出不同情況下△ABC的面積，本題得以解決．

解答 解：由題意可得，如右圖所示
存在兩種情況，
當(dāng)△ABC為△A₁BC時(shí)，連接OB、OC，
∵點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，OA₁⊥BC于點(diǎn)D，
∴CD=1，OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴${S}_{△{A}_{1}BC}=\frac{BC•{A}_{1}D}{2}=\frac{2×（2-\sqrt{3}）}{2}$=2-$\sqrt{3}$，
當(dāng)△ABC為△A₂BC時(shí)，連接OB、OC，
∵點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，OA₁⊥BC于點(diǎn)D，
∴CD=1，OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴S_△A2BC=$\frac{BC•D{A}_{2}}{2}$=$\frac{2×（2+\sqrt{3}）}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
由上可得，△ABC的面積為$2-\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．