Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)O、點(diǎn)A （2，﹣4）、點(diǎn)B （3，﹣3），與x軸交于點(diǎn)C，直線AB交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，AF上取一點(diǎn)G，使△GBA∽△AOD，求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）過直線AF左側(cè)的拋物線上點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)N，若∠BMN=∠OAF，求直線BM的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】解：（1）∵將原點(diǎn)O、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，解得：a=1，b=﹣4，c=0，
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x．
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)A（2，﹣4）、B（3，﹣3）代入得，解得：k=1，b=﹣6，
∴直線AB的解析式為y=x﹣6．
∵令y=0得x﹣6=0，解得：x=6，
∴D（6，0）．
∴OD=6．
∵AF⊥x軸，（2，﹣4），
∴F（2，0）．
∴AF=4，DF=4．
∴AF=DF．
∴∠GAB=∠ODA．
∴當(dāng)時(shí)，△GBA∽△AOD．
∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知AB==，AD==4，
∴，解得；AG=．
∴G（2，﹣）．
（3）如圖1所示：BM與AF的交點(diǎn)記為G．

∵∠BMN=∠OAF，∠A=∠ODA，
∴△GBA∽△AOD．
∴，即，解得；AG=．
∴G（2，﹣）．
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)B、G的坐標(biāo)代入得：，解得：k=﹣，b=﹣2．
∴直線BM的解析式為y=﹣X﹣2．
如圖2所示：MB與x交點(diǎn)記為G．

BD=AD﹣AB=4﹣=3．
∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，
∴△FBD∽△AOD．
∴，即，解得DG=4．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，0）．
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：，解得k=﹣3，b=6．
∴直線BM的解析式為y=﹣3x+6．
綜上所述，直線MB的解析式為y=-x﹣2或y=﹣3x+6．
【解析】（1）將原點(diǎn)O、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a、b、c的值即可；
（2）先求得直線AB的解析式，然后可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，于是得到AF=DF，由兩點(diǎn)間的距離公式可求得AB、AD的長，由等腰三角形的性質(zhì)可證明∠GAB=∠ODA，故此時(shí)，△GBA∽△AOD．接下來依據(jù)關(guān)系式可求得AG的長，從而可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖1所示：BM與AF的交點(diǎn)記為G．先證明△GBA∽△AOD，由相似三角形的性質(zhì)可求得AG的長，于是得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得BM的解析式；如圖2所示：MB與x交點(diǎn)記為G．先證明△FBD∽△AOD，由相似三角形的性質(zhì)可求得DG的長，從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得MB的解析式