Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出△PCD并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵PD⊥CD，

∴∠D=90°，

∴∠D=∠ACB，

∵∠A與∠P是對(duì)的圓周角，

∴∠A=∠P，

∴△PCD∽△ABC；

（2）解：當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，

理由：∵AB，PC是⊙O的半徑，

∴AB=PC，

∵△PCD∽△ABC，

∴△PCD≌△ABC；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∵△PCD∽△ABC，

∴∠PCD=∠ABC=30°，

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴=，

∴∠ACP=∠ABC=30°，

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．