Question

如圖，直角三角形ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，MB⊥AB，MD交AC于N；MC的延長線交AB于E．證明：∠DBN=∠BCE．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：首先延長ME交△ABC的外接圓于F，延長MD交AF于K，作CG∥MK，交AF于G，交AB于P，作DH⊥CF于H，連接HB、HP，得出點(diǎn)D、H、B、M共圓，進(jìn)而得出即PH為△CFG的中位線，AP為△ACG的邊CG上的中線，得出四邊形NAKB為平行四邊形，則∠DBN=∠DAK，而∠DAK=∠BAF=∠BCF=∠BCE，即可得出答案．

解答：證明：如圖，延長ME交△ABC的外接圓于F，延長MD交AF于K，作CG∥MK，交AF于G，交AB于P，作DH⊥CF于H，
則H為CF的中點(diǎn)，
連接HB、HP，則點(diǎn)D、H、B、M共圓，
故∠HBD=∠HMD=∠HCP，于是H、B、C、P共圓，
∴∠PHC=∠ABC=∠AFC，故PH∥AF，
即PH為△CFG的中位線，P是CG的中點(diǎn)，
則AP為△ACG的邊CG上的中線，
又∵NK∥CG，
故D是NK的中點(diǎn)，即線段AB與NK互相平分，
∴四邊形NAKB為平行四邊形，
∴∠DBN=∠DAK，而∠DAK=∠BAF=∠BCF=∠BCE，
即有∠DBN=∠BCE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四點(diǎn)共圓以及平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)與判定，作出正確輔助線，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．