Question

（1）討論關于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的個數(shù)．
（2）設a₁，a₂，…，a_n為等差數(shù)列，且|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|=507，求項數(shù)n的最大值．

Answer 1

考點：絕對值

專題：

分析：（1）分別利用當a＜2時，當a=2時，當a＞2時，求出即可；
（2）根據(jù)方程|x|=|x+1|=|x-2|無解，得出n≥2且公差不為0． 不妨設數(shù)列的各項為a-kd（1≤k≤n，d＞0），作函數(shù)f （x）=

n

k=1

|x=kd|，本題條件等價于f （x）=507至少有三個不同的根a，a+1，a-2，此條件又等價于函數(shù)y=f （x）的圖象與水準直線y=507至少有三個不同的公共點，進而結合圖象得出．

解答：解：（1）根據(jù)函數(shù)y=|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的圖象可知：
當a＜2時，方程無解；
當a=2時，方程有一個根；
當a＞2時，方程有兩個根．

（2）因為方程|x|=|x+1|=|x-2|無解，故n≥2且公差不為0． 不妨設數(shù)列的各項為a-kd（1≤k≤n，d＞0）．
作函數(shù)f （x）=

n

k=1

|x=kd|，
本題條件等價于f （x）=507至少有三個不同的根a，a+1，a-2，此條件又等價于函數(shù)y=f （x）的圖象與水準直線y=507至少有三個不同的公共點．
由于y=f （x）的圖象是關于直線y=

(n+1)d

2

左右對稱的n+1段的下凸折線，它與水準直線L有三個公共點當且僅當折線有一水準段在L上，
當且僅當n=2m且a，a+1，a-2∈[md，（m+1）d]，f （md）=507．即d≥3且m²d=507．
由此得 m²≤

507

3

，解得：m≤13，
顯然，m=13時，取d=3，a=4滿足本題條件． 
因此，n的最大值為26．

點評：此題主要考查了絕對值綜合，利用分類討論以及數(shù)形結合得出是解題關鍵．