Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，經(jīng)過點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖，點(diǎn)是第一象限中上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，的周長是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖，連接，在軸上取一點(diǎn)，使和相似，請(qǐng)求出符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）最大值為；（3）滿足條件的點(diǎn)有，．

【解析】

（1）將A（1，3），B（0，1），代入拋物線y=x2+bx+c，即可得出答案；

（2）延長CA交y軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)C（4，3）可求得＝，由tan∠C=tan∠M＝＝，設(shè)M（a，a2+a+1），求得F(a，a+1)，則MF=a2+2a，由勾股定理得，FH＝MF，MH＝MF，所以△MFH的周長可用MF表示，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）由＝，∠CDB為公共角，可得△ABD∽△BCD．從而∠ABD=∠BCD．分1°當(dāng)∠PAB=∠ABC時(shí)，2°當(dāng)∠PAB=∠BAC時(shí)兩種情況討論即可得出答案．

（1）將，，代入，

解得，．

拋物線的解析式為．

頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）由，得直線解析式為：

設(shè)M，則得

則

∵

∴有最大值，當(dāng)時(shí)，最大值為2

將直線與軸交點(diǎn)記作，

易得

因?yàn)?/span>軸，∴

又∵，∴∽

∴

∴

所以的最大值為

（3） ，為公共角，

．

．

當(dāng)時(shí)，，

，

，

，

．

當(dāng)時(shí)，，

，

，

．

綜上所述滿足條件的點(diǎn)有，．