Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：FC=AD；
（2）求證：AB=BC+AD；
（3）若∠ABC=50°，求∠F．

Answer 1

分析 （1）可通過(guò)說(shuō)明△ADE≌△FCE，證明FC=AD；
（2）由（1）知，AD=CF，要證明AB=BC+AD，只要證明AB=BF就行．可利用三線合一或者說(shuō)明△ABE≌△FBE；
（3）由（2）知△ABF是等腰三角形，知∠ABC，利用等腰三角形的角間關(guān)系，易求∠F．

解答 解：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠F}\\{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC=AD．

（2）證明：由于△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，F(xiàn)C=AD，
又∵BE⊥AF，
∴BE是△ABF的中垂線，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD．
（3）解：由（2）知，△ABF是等腰三角形，
∴∠F=$\frac{180°-∠ABC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道四邊形綜合題，主要考察了三角形全等的判斷，等腰三角形的三線合一和三角形的內(nèi)角間關(guān)系．在等腰三角形中，若已知頂角，則底角=$\frac{180°-頂角}{2}$，若已知底角，頂角=180°-2底角．解決此類問(wèn)題，前面的結(jié)論可作為后面的條件．