【題目】如圖,拋物線yax2+2ax3aa≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,且OA=OC,直線y=﹣x與該拋物線交于E,F兩點.

1)求拋物線的解析式.

2P是直線EF下方拋物線上的一個動點,作PHEF于點H,求PH的最大值.

3)以點C為圓心,1為半徑作圓,⊙C上是否存在點D,使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形?若存在,直接寫出D點坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1yx2+2x3;(2;(3)點D的坐標為(,)或(,)或(1,﹣3)或(,).

【解析】

1)令x0,則y=﹣3a,可知點C0,﹣3a),繼而知點A的坐標,根據(jù)拋物線yax2+2ax3aa≠0)與x軸交于A、B兩點可知,ax2+2ax3a=0,解方程可得點A、B的坐標,繼而求出a的值及拋物線解析式;

2)過點PPMy軸交直線EF于點M,設點P,點M,則PH,將表達式配成頂點式即可得出答案;

3)分∠BCD90°、∠CDB90°兩種情況,作出圖形分別求解即可.

1)令x0,則y=﹣3a,可知點C0,﹣3a),

OAOC

∴點A(﹣3a0),

,即

解得:x1=﹣3,x21

∴點A(﹣30),B1,0

∴﹣3a=﹣3

a1

∴拋物線的解析式yx2+2x3

2)過點PPNy軸交直線EF于點N,

∵直線EF的解析式為y=﹣x,

∴∠NOA45°,

∴∠PNH45°

設點P,點N,

PH

x時,PH的值最大為

3)當∠BCD90°時,如圖2左側(cè)圖所示,

當點DBC的右側(cè)時,

過點DDMy軸于點M,則CDOB1,OC3,

tanBCOtanCDM

,,

xDCD,同理yD

故點D,);

同理當點DBC的左側(cè)時,點D的坐標();

當∠CDB90°時,如圖2右側(cè)圖所示,

當點DBC的右側(cè)時,

CDOB1,則點D1,﹣3),

當點DBC的左側(cè)時,由點的對稱性,同理可得:點D,);

綜上所述,點D的坐標為(,)或(,)或(1,﹣3)或(,).

練習冊系列答案
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下面是軒軒的探究過程,請補充完整:

1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量,分別得到了xy的幾組值,結(jié)果如表:

x/cm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

y/cm2

0

1.25

2.45

3.58

4.57

5.41

6.25

4.91

0

該函數(shù)的表達式為__________,自變量x的取值范圍為___________

2)在右圖中建立平面直角坐標系,描出以補全后的表中各組對應值為坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象.

3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:在(2)問的直角坐標系中畫出直線y1x,根據(jù)圖象得出當yy1x的正數(shù)值約為_______(精確到0.1

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1)求證:△ABE∽△ECF;

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②當 時,四邊形是正方形.

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