Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若x₁+x₂=6-x₁x₂，求（x₁-x₂）²+3x₁x₂-5的值．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的兩個實數(shù)根，根據(jù)根的判別式的意義得到△=b²-4ac≥0，即4m²-12m+9-4m²≥0，解關(guān)于m的不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-（2m-3），x₁x₂=m²，代入代數(shù)式求出m的值即可．

解答 解：（1）△=（2m-3）²-4m²
=4m²-12m+9-4m²
=-12m+9，
∵△≥0
∴-12m+9≥0，
∴m≤$\frac{3}{4}$；

（2）由題意可得
x₁+x₂=-（2m-3）=3-2m，
x₁x₂=m²，
又∵x₁+x₂=6-x₁x₂，
∴3-2m=6-m²，
∴m²-2m-3=0，
∴m₁=3，m₂=-1，
又∵m≤$\frac{3}{4}$
∴m=-1，
∴x₁+x₂=5，
x₁x₂=1，
∴（x₁-x₂）²+3x₁x₂-5
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂+3x₁x₂-5
=（x₁+x₂）²-x₁x₂-5
=5²-1-5
=19．

點評 此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．