Question

已知拋物線y=-x²+mx-n的對稱軸為x=-2，且與x軸只有一個交點．
（1）求m，n的值；
（2）把拋物線沿x軸翻折，再向右平移2個單位，向下平移1個單位，得到新的拋物線C，求新拋物線C的解析式；
（3）已知P是y軸上的一個動點，定點B的坐標為（0，1），問：在拋物線C上是否存在點D，使△BPD為等邊三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸公式求出m=-4．再利用拋物線與x軸只有一個交點，得出m²-4n=0，進而得出n的值；
（2）根據(jù)m，n的值求出二次函數(shù)解析式，進而利用二次函數(shù)的平移得出新的解析式；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出tan60°=

DH

BH

．進而得出a²=3（b-1）²．求出a，b的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-2，
∴m=-4．
∵拋物線與x軸只有一個交點，
∴m²-4n=0．
∴n=4．

（2）∵m=-4，n=4，
∴y=-x²-4x-4．
∴y=-（x+2）²．
∴拋物線C的解析式為　y=x²-1．

（3）假設(shè)點D存在，設(shè)D（a，b）．
作DH⊥y軸于點H，如圖；
則DH=|a|，BH=|b-1|．
由△DPB為等邊三角形，
得Rt△DHB中，∠HBD=60°．
∴tan60°=

DH

BH

．
∴

3

=

|a|

|b-1|

．
∴a²=3（b-1）²．
∵D（a，b）在拋物線C上，
∴b=a²-1．
∴b=3（b-1）²-1．
∴b=2或b=

1

3

．
∴a=±

3

或a=±

2 3

3

．
∴滿足條件的點存在，分別為D1(

3

，2)，D2(-

3

，2)，D3(

2 3

3

，

1

3

)，D4(-

2 3

3

，

1

3

)．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，利用函數(shù)與坐標軸交點性質(zhì)以及二次函數(shù)平移是重點知識，同學們應重點掌握．