Question

5．如圖，已知△ABC≌△CDA，將△ABC沿AC所在的直線折疊至△AB′C的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，連結(jié)BB′．
（1）直接填空：B′B與AC的位置關(guān)系是垂直；
（2）點(diǎn)P、Q分別是線段AC、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知△BB′C的面積為36，BC=8，求PB+PQ的最小值；
（3）試探索：△ABC的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，△AB′E是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出△BB′C的BC邊上的高，根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)解答；
（3）分∠AB′E=90°和∠AEB′=90°兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）由翻折變換的性質(zhì)可知，AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，
∴B′B⊥AC，
故答案為：垂直；
（2）∵AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，
∴AC是B′B的垂直平分線，
∴點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線AC軸對(duì)稱，
連接B′Q，則B′Q是PB+PQ的最小值，
∵△BB′C的面積為36，BC=8，
∴△BB′C的BC邊上的高為36×2÷8=9，
當(dāng)B′Q⊥BC時(shí)，B′Q最小，
∴PB+PQ的最小值為9；
（3）①如圖1，當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，∠AEB′=90°．
∵由翻折變換的性質(zhì)可知，∠BCA=∠B′CA，
∴∠BCB′=90°，
∵△ABC≌△CDA，
∴AB=CD，BC=AD，
∴四邊形ABCD的平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB′=∠BCB′=90°；
②如圖2，由翻折變換的性質(zhì)可知，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，∠AB′E=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．