Question

14．我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示（圖②是備用圖），如果把鍋縱斷面的拋物線記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．

（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如果炒菜鍋時(shí)的水位高度是1dm，求此時(shí)水面的直徑；
（3）如果將一個(gè)底面直徑為3dm，高度為3dm的圓柱形器皿放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式；
（2）炒菜鍋里的水位高度為1dm即y=-2，列方程求得x的值即可得答案；
（3）底面直徑為3dm、高度為3dm圓柱形器皿能否放入鍋內(nèi)，需判斷當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，C₁和C₂中的y值的差與3比較大小，從而可得答案．

解答 解：（1）由于拋物線C₁、C₂都過點(diǎn)A（-3，0）、B（3，0），可設(shè)它們的解析式為：y=a（x-3）（x+3）；
拋物線C₁還經(jīng)過D（0，-3），
則有：-3=a（0-3）（0+3），解得：a=$\frac{1}{3}$
即：拋物線C₁：y=$\frac{1}{3}$x²-3（-3≤x≤3）；
拋物線C₂還經(jīng)過C（0，1），
則有：1=a（0-3）（0+3），解得：a=-$\frac{1}{9}$
即：拋物線C₂：y=-$\frac{1}{9}$x²+1（-3≤x≤3）．

（2）當(dāng)炒菜鍋里的水位高度為1dm時(shí)，y=-2，即$\frac{1}{3}$x²-3=-2，
解得：x=±$\sqrt{3}$，
∴此時(shí)水面的直徑為2$\sqrt{3}$dm．

（3）鍋蓋能正常蓋上，理由如下：
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，拋物線C₁：y=$\frac{1}{3}$×（$\frac{3}{2}$）²-3=-$\frac{9}{4}$，拋物線C₂：y=-$\frac{1}{9}$×（$\frac{3}{2}$）²+1=$\frac{3}{4}$，
而$\frac{3}{4}$-（-$\frac{9}{4}$）=3，
∴鍋蓋能正常蓋上．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．