Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊上一點(diǎn)，若是等腰三角形，則腰長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】5或或

【解析】

分情況討論：當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)和C點(diǎn)重合，求出PB長(zhǎng)度即可；若B為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)為CD中點(diǎn)；
當(dāng)PB為底時(shí)，E在BP的垂直平分線(xiàn)上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；

①由題意得出，證明∽，得出比例式，即可求出BE；②設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．

分情況討論：
當(dāng)PB為腰時(shí)，若P為頂點(diǎn)，則E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖1所示：

四邊形ABCD是正方形，
，，
是AD的中點(diǎn)，
，
根據(jù)勾股定理得：；
若B為頂點(diǎn)，則根據(jù)得，為CD中點(diǎn)，此時(shí)腰長(zhǎng)；
當(dāng)PB為底邊時(shí)，E在BP的垂直平分線(xiàn)上，與正方形的邊交于兩點(diǎn)，即為點(diǎn)E；

當(dāng)E在AB上時(shí)，如圖2所示：

則，
，，
∽，
，即，
；

②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖3所示：

設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理得：，，
，
解得：，
，
；
綜上所述：腰長(zhǎng)為：，或5，或；
故答案為：，或5，或．