Question

如圖，M為正方形ABCD邊AB上一點，BP⊥CM于P點，PN⊥PD交BC于N．
求證：BM=BN．

Answer 1

證明：∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
又∵∠PCB+∠PCD=90°，
∴∠PBC=∠PCD．
∵PD⊥PN，
∴∠DPN=90°．
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°，
∴∠BPN=∠DPC．
∴△PBN∽△PCD（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．
∴=．
又∵BP⊥MC，
∴△PBM∽△PCB，
∴=．
∵BC=CD，
∴=．
∴BN=BM．
分析：首先得出△PBN∽△PCD，可得出=；而在Rt△BCM，通過相似三角形△BPM和△PCB，可得出=；聯(lián)立兩個比例關(guān)系式，即可得出所證的結(jié)論．
點評：本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比．