Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與直線y=-

3

4

x+3分別交x軸于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，分別交y軸于點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)F，點(diǎn)D是射線FC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式和點(diǎn)D橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）當(dāng)△CBD為直角三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△CBD為等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將B（-1，0），A（0，1）代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；根據(jù)點(diǎn)D是射線FC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，即可求出點(diǎn)D橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）先由直線y=-

3

4

x+3交x軸于點(diǎn)C，求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．根據(jù)點(diǎn)D是射線FC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及B（-1，0），可知當(dāng)△CBD為直角三角形時(shí)，只能∠BDC=90°，設(shè)D（x，-

3

4

x+3）．在△CBD中根據(jù)勾股定理列出方程（x+1）²+（-

3

4

x+3）²+（x-4）²+（-

3

4

x+3）²=5²，解方程求出x的值，再代入兩點(diǎn)間的距離公式，計(jì)算即可求出BD的長(zhǎng)；
（3）由（2）可知，滿足△CBD為直角三角形的D點(diǎn)只有一個(gè)，求出此時(shí)CD的長(zhǎng)度，與BD進(jìn)行比較，如果相等，（2）中所求D點(diǎn)坐標(biāo)即為所求；如果不相等，那么滿足條件的D點(diǎn)不存在．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∵B（-1，0），A（0，1），
∴

-k+b=0 b=1

，
解得：

k=1 b=1

，
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵點(diǎn)D是射線FC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)的取值范圍為：x＞0；

（2）∵直線y=-

3

4

x+3交x軸于點(diǎn)C，
∴0=-

3

4

x+3，
解得：x=4，
∴點(diǎn)C（4，0），
當(dāng)△CBD為直角三角形時(shí)，只能∠BDC=90°，設(shè)D（x，-

3

4

x+3）．
∵∠BDC=90°，
∴BD²+CD²=BC²，
即（x+1）²+（-

3

4

x+3）²+（x-4）²+（-

3

4

x+3）²=5²，
整理得5x²-24x+16=0，
解得x₁=

4

5

，x₂=4（不合題意舍去），
∴D（

4

5

，

12

5

）．
∵BD²=（

4

5

+1）²+（

12

5

）²=9，
∴BD=3；

（3）由（2）可知，滿足△CBD為直角三角形的D點(diǎn)只有一個(gè)，此時(shí)D（

4

5

，

12

5

），BD=3，
∵CD=

( 4 5 -4)2+( 12 5 )2

=4，
∴BD≠CD，
∴滿足△CBD為等腰直角三角形的D點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理與等腰直角三角形的性質(zhì)，難度適中．