Question

與直角三角形三條邊長對應的3個正整數(shù)（a，b，c），稱為勾股數(shù)，《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一組最簡單的勾股數(shù)，顯然，這組數(shù)的整數(shù)倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股數(shù)．
當然，勾股數(shù)遠遠不止這些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股數(shù)．
怎樣探索勾股數(shù)呢？即怎樣一組正整數(shù)（a，b，c）才能滿足關(guān)系式a²+b²=c²
活動1：
設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，如下表：
表1                                    表2

a	b	c		a	b	c
3	4	5		6	8	10
5	12	13		8	15	17
7	24	25		10	24	26
9	40	41		12	35	37

活動2：
（1）觀察表1，b、c與a²之間的關(guān)系是

 

；
（2）根據(jù)表1的規(guī)律寫出勾股數(shù)（11，

 

，

 

）
活動3：
（1）觀察表2，b、c與a²之間的關(guān)系是

 

；
（2）根據(jù)表2的規(guī)律寫出勾股數(shù)（16，

 

，

 

）
活動4：
一位數(shù)學家在他找到的勾股數(shù)的表達式中，用2n²+2n+1（n為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中的最大的一個數(shù)，則另兩個數(shù)的表達式是

 

、

 

（認真觀察表1、表2后直接寫出結(jié)果）

Answer 1

考點：勾股數(shù)

專題：規(guī)律型

分析：活動2：（1）觀察表1中的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)b、c與a²之間的關(guān)系是a²=b+c；
（2）首先根據(jù)a²=b+c求得b+c=121，再根據(jù)b=c-1，即可求得b=55，c=56；
活動3：（1）觀察表2中的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)b、c與a²之間的關(guān)系是

1

2

a²=b+c；
（2）首先根據(jù)

1

2

a²=b+c求得b+c=128，再根據(jù)b=c-2，即可求得b=63，c=65；
活動4：利用表1與表2的規(guī)律分別驗證即可．

解答：解：活動2：
（1）b、c與a²之間的關(guān)系是a²=b+c；
（2）∵a²=b+c，a=11，
∴b+c=121，
∵b=c-1，
∴b=55，c=56；

活動3：（1）b、c與a²之間的關(guān)系是

1

2

a²=b+c；
（2）∵

1

2

a²=b+c，a=16，
∴b+c=128，
∵b=c-2，
∴b=63，c=65；

活動4：已知c=2n²+2n+1，
如果滿足表1的規(guī)律，那么b=c-1，a²=b+c，
∴b=2n²+2n，a²=4n²+4n+1，
∴a=2n+1，符合題意；
如果滿足表2的規(guī)律，那么b=c-2，

1

2

a²=b+c，
∴b=2n²+2n-1，

1

2

a²=4n²+4n，
∴a²=8n²+8n，不是完全平方數(shù)，不符合題意；
綜上所述，另兩個數(shù)的表達式是2n²+2n，2n+1．
故答案為a²=b+c；55，56；

1

2

a²=b+c；63，65；2n²+2n，2n+1．

點評：本題考查了勾股數(shù)，數(shù)字的變化類-規(guī)律型，讀懂表格，從表格中獲取有用信息進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．