Question

（2012•隨州）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了一道題：
（1）解方程x²-2x-3=0
巡視后，老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們解此道題的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接著，老師請(qǐng)大家用自己熟悉的方法解第二道題：
（2）解關(guān)于x的方程mx²+（m-3）x-3=0（m為常數(shù)，且m≠0）．
老師繼續(xù)巡視，及時(shí)觀察、點(diǎn)撥大家，再接著，老師將第二道題變式為第三道題：
（3）已知關(guān)于x的函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m為常數(shù)）
①求證：不論m為何值，此函數(shù)的圖象恒過(guò)x軸、y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（設(shè)x軸上的定點(diǎn)為A，y軸上的定點(diǎn)為C）；
②若m≠0時(shí)，設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，觀察圖象，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
請(qǐng)你也用自己熟悉的方法解上述三道題．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)因式分解法解得x²-2x-3=0的根；
（2）觀察方程mx²+（m-3）x-3=0可把原方程分解成（x+1）•（mx-3）=0，解出方程的兩根即可；也可以運(yùn)用公式法進(jìn)行解答；
（3）①首先進(jìn)行分類討論，當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，可以求出函數(shù)恒過(guò)x軸、y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)m≠0時(shí)，該函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是拋物線，結(jié)合（2）問(wèn)知識(shí)，可以得到恒過(guò)x軸、y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)；②當(dāng)m＞0時(shí)，由①可知拋物線開(kāi)口向上，且過(guò)點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0），觀察圖象并結(jié)合題干條件，當(dāng)△ABC為Rt△時(shí)，可知△AOC∽△COB，進(jìn)而求出OB的長(zhǎng)度，若△ABC為銳角三角形時(shí)，則0＜

3

m

＜9，解出m的取值范圍即可．

解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得（x+1）（x-3）=0，
∴x₁=-1，x₂=3；               …（3分）

（2）方法一：由mx²+（m-3）x-3=0，得（x+1）•（mx-3）=0，
∵m≠0，∴x₁=-1，x₂=

3

m

…（3分）
方法2：由公式法：x₁，x₂=

3-m± (m-3)2+12m

2m

=

3-m±|m+3|

2m

，
∴x₁=-1，x₂=

3

m

；

（3）①1°當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3為y=-3x-3，
令y=0，得x=-1；令x=0，則y=-3．
∴直線y=-3x-3過(guò)定點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3）…（2分）
2°當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3為y=（x+1）•（mx-3），
∴拋物線y=（x+1）•（mx-3）恒過(guò)兩定點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3）；
故不論m為何值，此函數(shù)的圖象恒過(guò)x軸、y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)；

②（I）當(dāng)m＞0時(shí)，由①可知拋物線開(kāi)口向上，且過(guò)點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3）和B（

3

m

，0），
觀察圖象，可知，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，
則△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
∴|OC|²=|OA|•|OB|，
∴3²=1×|OB|，
∴OB=9，即B（9，0），
∴當(dāng)0＜

3

m

＜9．即：m＞

1

3

，
當(dāng)m＞

1

3

時(shí)，△ABC為銳角三角形； 
（II）觀察圖象可知
當(dāng)m＜0且m≠-3時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，B與A不重合．
∴△ABC中的∠BAC＞90°，
∴△ABC是鈍角三角形．
∴當(dāng)m＜0且m≠-3時(shí)，△ABC為鈍角三角形，
綜上當(dāng)m＞

1

3

時(shí)，△ABC為銳角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象得性質(zhì)，特別是解答第（3）問(wèn)時(shí)，首先解出三角形ABC是直角三角形時(shí)m的值，進(jìn)而求出△ABC是銳角三角形時(shí)m的取值范圍，此題難度較大．