Question

已知：如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）

【小題1】求該拋物線的解析式；
【小題2】點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE//AC，交BC于點E，連接CQ，設△CQE的面積為S，Q(m，0)，試求S與m之間的函數(shù)關系式（寫出自變量m的取值范圍）；
【小題3】在（2）的條件下，當△CQE的面積最大時，求點E的坐標.
【小題4】若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為(2，0). 問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【小題1】
【小題1】設點Q坐標為，過點作EG⊥x軸于G，由得，
∴點B的坐標為，點A的坐標為
∴AB=6   BQ=m＋2 ∵QE//AC ∴△BQE∽△BAC   又△BEG∽△BCO
∴  即   ∴
∴

即
【小題1】由（2）知
又   ∴當時   S最大
此時   BQ=QA   又QE//CA
∴BE=EC  ∴點E為BC的中點，∴
【小題1】存在，在△ODF中
①若DO=DF  ∵A(4,0)  D(2,0) ∴AD=OD=DF=2
又在Rt△AOC中，OA=OC=4  ∴∠OAC=45°∴∠DFA=∠OAC=45°
∴∠ADF=90°，此時，點F的坐標為（2, 2）
由得 ，此時點P的坐標為：
或
②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，由等腰三角形的性質得
  ∴AM=3  ∴在等腰直角△AMF中
MF=AM=3  ∴F(1, 3)  由
得    此時，點P的坐標為或
③若OD=OF ∵OA=OC=4  且∠AOC=90° ∴AC=4
∴點O到AC的距離為，而OF=OD=2∠，此時，不存在這樣的直線l，
使得△ODF是等腰三角形
綜上，存在滿足條件的點或或或

解析【小題1】根據A，C兩點坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
【小題1】根據△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標為：±4，進而得出x的值即可；
【小題1】利用相似三角形的性質得出S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，進而求出即可；
【小題1】利用圖象以及等腰三角形的性質假設若DO=DF時以及當FO=FD和當DF=OD時分別得出F點的坐標，將縱坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出P點坐標．