Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD=∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．
（1）求證：AE=2PE；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由已知條件判斷出△ADP∽△ABC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出==，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出答案；
（2）由△EPD∽△EAP，得==，進(jìn)而可得出AE與DE的關(guān)系，作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，由PD∥HE可得出==，進(jìn)而可得出y與x的關(guān)系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得=，當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案．
解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，（1分）
∴==，（1分）
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴==．（1分）
∴AE=2PE．（1分）

（2）由△EPD∽△EAP，得==，
∴PE=2DE，（1分）
∴AE=2PE=4DE，（1分）
作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，
∵AP=x，
∴PD=x，
∵PD∥HE，
∴==．
∴HE=x．（1分）
又∵AB=2，y=（2-x）•x，即y=-x²+x．（1分）
定義域是0＜x＜．（1分）

另解：由△EPD∽△EAP，得==，
∴PE=2DE．（1分）
∴AE=2PE=4DE．（1分）
∴AE=×x=x，（1分）
∴S_△ABE=×x×2=x，
∴=，即=，
∴y=-x²+x．（1分）
定義域是0＜x＜．（1分）

（3）由△PEH∽△BAC，得=，
∴PE=x•=x．（1分）
當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．
（i）當(dāng)∠BEP=90°時(shí)，=，
∴=．
解得x=．（1分）
∴y=-x××5+×=．（1分）
（ii）當(dāng)∠EBP=90°時(shí)，同理可得x=，（1分）
y=．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，在解（3）時(shí)要注意分類(lèi)討論，不要漏解．