【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于A(, )和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PC⊥x軸,交拋物線于點C.

(1)求拋物線的表達式;

(2)是否存在這樣的點P,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值,若不存在,請說明理由;

(3)當△PAC為直角三角形時,求點P的坐標.

【答案】(1)y2x28x6(2)存在符合條件的點P( ),使線段PC的長有最大值.(3)滿足條件的點P有兩個,為P1(3,5),P2(, )

【解析】試題分析:1)通過直線AB的解析式求出B點坐標。將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式中得到一組關(guān)于a、b的二元一次方程組,解方程組求出ab的值并代回拋物線的解析式中即可。

2)根據(jù)直線AB的解析式設(shè)出點P的坐標。點P與點C的橫坐標相同,由拋物線的解析式得出點C的坐標,即可得出PC關(guān)于點P坐標的表達式。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出PC的長的最大值,即可求出點P的坐標。

3)當PAC是直角三角形時,有①∠PAC=90°②∠PCA=90°這兩種情況,分別求出這兩種情況下的點P的坐標即可。

解:(1)∵B(4,m)在直線y=x+2上,

∴m=6,B(4,6).

∵A(,)、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,

解得

所求拋物線的表達式為y=2x2-8x+6.

(2)設(shè)動點P的坐標為(n,n+2),則點C的坐標為(n,2n2-8n+6).

∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2(n-)2.∵a=-2<0,

當n=,線段PC取得最大值此時,P(,).

綜上所述,存在符合條件的點P(,),使線段PC的長有最大值.

(3)顯然,∠APC≠90°,如圖1當∠PAC=90°,設(shè)直線AC的表達式為y=-x+b,把A(,)代入,得-+b=.解得b=3.由-x+3=2x2-8x+6,得x1=3或x2 (舍去).

當x=3時,x+2=3+2=5.此時,點P的坐標為P1(3,5).

如圖2,當∠PCA=90°由A(,)知,點C的縱坐標為y=.

由2x2-8x+6=,得x1 (舍去),x2.當x=,x+2=+2=.

此時,點P的坐標為P2().

綜上可知,滿足條件的點P有兩個為P1(3,5),P2(,).

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