Question

【題目】閱讀材料： 小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)（其中均為整數(shù)），則有 ．

∴．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示，得 ＝　 　，＝　 　；

（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；

（3）若，且均為正整數(shù)，求的值．

【答案】（1）；；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）＝7或13

【解析】分析：（1）由a+b=(m+n)2，展開(kāi)比較系數(shù)可得答案；

（2）取m=1，n=1，可得a和b的值，可得答案；

（3）由題意得m和n的方程，解方程可得m和n，可得a值．

詳解：（1）∵a+b=(m+n)2，

∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m2+3n2，b=2mn．

故答案為：m2+3n2，2mn．

（2）設(shè)m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．

故答案為4、2、1、1．

（3）由題意，得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．

點(diǎn)睛：本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)算完全平方公式和二次根式的運(yùn)算法則．

【題型】解答題
【結(jié)束】
28

【題目】如圖1，已知點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a、b滿足，

□ABCD的邊AD與y軸交于點(diǎn)E，且E為AD中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)D點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，則C點(diǎn)縱坐標(biāo)為 （含t的代數(shù)式表示），k的值為 ；

（2）點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，若以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

（3）以線段AB為對(duì)角線作正方形AFBH（如圖3），點(diǎn)T是邊AF上一動(dòng)點(diǎn)，M是HT的中點(diǎn)，MN⊥HT，交AB于N，連接FN，當(dāng)T在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷∠ATH與∠AFN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）t-3，6；（2）（1，6），（0，9）；；（-1，-6），（0，-9）；（-1，-6），（0，3）；（3）∠ATH+∠AFN=135°．

【解析】分析：（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，故可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函數(shù)的解析式為y=，再由點(diǎn)P在雙曲線y=上，點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對(duì)角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)；

（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出結(jié)論．

詳解：（1）∵，且∴a+1＝0,a+b+4＝0，解得：a＝1；b＝3，

∴A（-1，0），B（0，-3），∵E為AD中點(diǎn)，∴xD=1，設(shè)D（1，t），

又∵DC∥AB，∴C（2，t-3），∴t=2t-6，∴t=6，∴k=6；

（2）∵由（1）知k=6，

∴反比例函數(shù)的解析式為，∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，

∴設(shè)Q（0，y），P（，

①AB為邊時(shí)：

如圖1所示： 若ABPQ為平行四邊形，則，

解得x=1，此時(shí)（1，6），（0，9）；

如圖2所示；若ABQP為平行四邊形，則，

解得x=-1，此時(shí)（-1，-6），（0，-9）； /p>

②如圖3所示；當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，解得x=-1，∴（-1，-6），（0，3）；

故（1，6），（0，9）；；（-1，-6），（0，-9）；（-1，-6），（0，3）；

（3）連NH、NT、NF，∵MN是線段HT的垂直平分線，

∴NT=NH，∵四邊形AFBH是正方形，∴∠ABF=∠ABH，

在△BFN與△BHN中，∵BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN，

∴△BFN≌△BHN，∴NF=NH=NT，∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，

四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，

而∠NTF=∠NFT=∠AHN，

所以，∠ATN+∠AHN=180°，

所以，四邊形ATNH內(nèi)角和為360°，

所以∠TNH=360°-180°-90°=90°．

∠ATH+∠AFN=135°．