Question

3．如圖，已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=4，點(diǎn)E、M是線段AB上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），分別過E、M作AO的垂線，垂足分別為K、L．
（1）△OEK面積S的最大值為3；
（2）若以O(shè)E、OM為邊構(gòu)造平行四邊形EOMF，若EM⊥OF，則OK+OL=$\frac{48}{13}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件證明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根據(jù)三角形的面積公式，列出關(guān)于OK的關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出答案．

解答 解：（1）如圖，∵EK⊥OA，∠AOB=90°，
∴△OBA∽△KEA，
∴$\frac{OB}{KE}=\frac{OA}{KA}$，即 $\frac{4}{KE}=\frac{6}{6-OK}$，
∴KE=$\frac{2（6-OK）}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×OK•KE=$\frac{1}{2}$×OK×$\frac{2（6-OK）}{3}$，
設(shè)OK=x，則S=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{2（6-x）}{3}$=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x$，
∴當(dāng)x=3 時(shí)，S有最大值，最大值=-3+6=3；

（2）如圖，當(dāng)EM⊥OF時(shí)，平行四邊形EOMF為菱形，OE的取值范圍為$\frac{12}{13}\sqrt{13}$＜OE＜4，
設(shè)OK=a，OL=b，
由（1）得，KE=$\frac{2（6-a）}{3}$，ML=$\frac{2（6-b）}{3}$，
由OE=OM得，
a²+[$\frac{2（6-a）}{3}$]²=b²+[$\frac{2（6-b）}{3}$]²．
若設(shè)y=x²+[$\frac{2（6-x）}{3}$]²=$\frac{13}{9}$x²-$\frac{16}{3}$ x+16，則
當(dāng)x₁=a，x₂=b時(shí)，函數(shù)y的值相等．
∵函數(shù)y的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{24}{13}$，
∴$\frac{a+b}{2}$=$\frac{24}{13}$，
解得a+b=$\frac{48}{13}$，即OK+OL=$\frac{48}{13}$．
故答案為：（1）3；（2）$\frac{48}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程以及二次函數(shù)的應(yīng)用，綜合性很強(qiáng)，屬于較難題．解題時(shí)注意：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形．