Question

8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分別為∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分線，AE與DM相交于點F，BE與CM相交于點N，連接EM．若平行四邊形ABCD的周長為42，F(xiàn)M=3，EF=4，則AB的長為（　　）

• A． 11
• B． 12
• C． 13
• D． 14

Answer 1

分析 由條件易證∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．進而可證到四邊形EFMN是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm，EF=4cm可求出EM．易證△ADF≌△CBN，從而得到DF=BN；易證△AFD∽△AEB，從而得到4DF=3AF．設DF=3k，則AF=4k．AE=4（k+1），BE=3（k+1），從而有AD=5k，AB=5（k+1）．由?ABCD的周長為42cm可求出k，從而求出AB長．

解答 解：∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAE=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
同理：∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BCM=∠DCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∠CDM=∠ADM=$\frac{1}{2}$∠ADC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．
在△ADF和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BCN}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{∠ADF=∠CBN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF=BN．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∴∠AEB=90°．
同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．
∴∠EFM=90°．
∵FM=3，EF=4，
∴ME=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5（cm）．
∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．
∴四邊形EFMN是矩形．
∴EN=FM=3．
∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，
∴△AFD∽△AEB．
∴$\frac{DF}{BE}=\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{DF}{3+DF}=\frac{AF}{4+AF}$，
∴4DF=3AF．
設DF=3k，則AF=4k．
∵∠AFD=90°，
∴AD=5k．
∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），
∴AB=5（k+1）．
∵2（AB+AD）=42，
∴AB+AD=21．
∴5（k+1）+5k=21．
∴k=1.6．
∴AB=13（cm）．
故選：C．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性較強．