Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E為AB上一點(diǎn)，BE=2，點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)，以FE為一邊作菱形FEHG，使點(diǎn)H落在AD邊上，點(diǎn)G落在梯形ABCD內(nèi)或其邊上．若BF=x，△FCG的面積為y．
（1）當(dāng)x=________ 時(shí)，四邊形FEHG為正方形；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）在備用圖中分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的圖形（不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法），并求△FCG面積的最大值和最小值；（計(jì)算過(guò)程可簡(jiǎn)要書寫）
（4）△FOG的面積由最大值變到最小值時(shí)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

解：（1）BF=x=4時(shí)，AE=6-2=4=BF，
∵∠A=∠B=90°，菱形EFGH，
∴EH=EF，
∵在Rt△AEH和Rt△BFE中
，
∴Rt△AEH≌Rt△BFE，
∴∠AEH=∠EFB，
∵∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=180°-90°=90°，
即菱形EFGH是正方形
∴當(dāng)x=4時(shí)，四邊形FEHG為正方形；

（2）如圖，連接FH，作GQ⊥BC于Q，則∠GQF=90°，∠GQF=∠A．
∵菱形FEHG，
∴GF=EH，EH∥FG，
∴∠EHF=∠GFH，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHF=∠HFC，
∴∠AHF-∠EHF=∠HFC-∠GFH，即∠AHE=∠GFQ，
∴△QGF≌△AEH，
∴GQ=EA=AB-BE=4，
∵BC=8，BF=x，
∴S_△FCG=×CF×GQ=16-2x．
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=16-2x；

（3）①如圖，
當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到使菱形FEHG的頂點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，x取得最小值，△FCG的面積最大，
畫法如下：以E為圓心，EA為半徑畫弧，交BC邊上于點(diǎn)F，平移EA到FG，連接AG，得到四邊形FEHG為菱形，此時(shí)EF=EA=AB-BE=4，BF===2．
y=16-2x=16-4，
△FCG的面積的最大值為16-4．
②如圖，
當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到使菱形FEHG的頂點(diǎn)G落在梯形ABCD的CD邊上時(shí)，x取最大值，△FCG的面積取得最小值，畫法如下：在圖6中有GQ=4可知．無(wú)論點(diǎn)F在BC邊上如何運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G到BC及AD的距離都不變，分別為4、2，取AE的中點(diǎn)P，（AP=2），過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線，交CD與G，作EG的垂直平分線，分別交AD、BC于H、F，順次連接F、E、H、G得到四邊形FEHG，可證的四邊形FEHG為菱形．
如圖，作CM⊥AD與M，GK⊥AD于K，則BP=4，EP=AP=2，
∵梯形ABCD中，AB=6，BC=8．AD=14，
∴CM=AB=6，DM=AD-AM=6，GK=AP=2，
∵DM=CM，∠CMD=90°，
∴∠D=45°，
∴DK=GK=2，PG=AK=AD-DK=12，
與（2）同理可證△KGH≌△BEF，KH=BF，
設(shè)此時(shí)的BF=x，則AH=AD-KH-DK=14-BF-2=12-x，在直角三角形AEH與直角三角形BEF中，由勾股定理得
AE²+AH²=EH²，BE²+BF²=EF²，由菱形的性質(zhì)可知EH=EF，
∴AE²+AH²=BE²+BF²，即4²+（12-x）²=2²+x²，解得x=，此時(shí)y=16-2x=3，
∴△FCG面積的最小值為3；

（4）答：△FCG面積由最大值變到最小值時(shí)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為12-2．
分析：（1）根據(jù)直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14可直接求出答案；
（2）連接FH，作GQ⊥BC于Q，根據(jù)菱形FEHG，求證△QGF≌△AEH，可得S_△FCG=×CF×GQ=16-2x，然后即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到使菱形FEHG的頂點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，x取得最小值，△FCG的面積最大，利用勾股定理求得BF，可得y=16-2x=16-4，然后即可求得△FCG的面積的最大值；
（4）如下圖，在題圖的基礎(chǔ)上，繼續(xù)作CM⊥AD與M，GK⊥AD于K，由（3）求得的△FCG的面積的最大值和△FCG面積的最小值為3，即可直接得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題．