Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過點（-32，-

1

2

）．
（1）求此反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖，點A（m，1）是反比例函數(shù)圖象上的點，求m的值；
（3）利用（2）的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點P，使以A、O、P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點（-32，-

1

2

）代入反比例函數(shù)解析式，可得出k的值，繼而得出函數(shù)解析式；
（2）將點A（m，1）代入（1）所求的解析式可得出m的值；
（3）分情況討論，①∠APO=90°，②∠OAP'=90°，分別得出點P的坐標即可．

解答：解：（1）將點（-32，-

1

2

）代入y=

k

x

可得：-

1

2

=

k

-32

，
解得：k=16，
故此反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；

（2）將點A（m，1）代入y=

16

x

，可得：1=

16

m

，
解得：m=16；

（3）存在點P的坐標．

①當∠APO=90°時，OP=16，
此時點P的坐標為（16，0）；
②當∠OAP'=90°時，△OAP∽△OP'A，
則

OA

OP′

=

OP

OA

，即

257

OP′

=

16

257

，
解得：OP'=

257

16

，
此時點P'的坐標為（

257

16

，0）．
綜上所述：點P的坐標為（16，0）或（

257

16

，0）．

點評：本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的知識，綜合性較強，解答本題要求我們熟練各個知識點，并將各知識點融會貫通．