Question

如圖，已知在四邊形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF=AE．
（1）試探究，四邊形BECF是什么特殊的四邊形并證明之；
（2）當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)四邊形BECF是正方形？并證明你的結(jié)論．
（3）若四邊形BECF的面積是6（cm）²且BC+AC=

105

cm時(shí)，求AB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因?yàn)镃F=AE，BE=EC=BF=FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)知，對(duì)角線平分一組對(duì)角，即當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據(jù)直角三角形中兩個(gè)角銳角互余得，∠A=45度；
（3）根據(jù)菱形的面積公式可知：BC•EF=6×2（cm）²，又BC+AC=

105

cm，再根據(jù)勾股定理即可求出BE的長(zhǎng)，繼而得出AB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）四邊形BECF是菱形．
證明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠3=∠1，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形．

（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，菱形BECF是正方形．
證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．

（3）∵CF=AE，四邊形BECF是菱形，
∴CF

∥

.

AE，
∴四邊形AEFC為平行四邊形，
∴EF=AC，
根據(jù)菱形的面積公式可知：

BC•AC

2

=6（cm）²，
∴BC•AC=6×2=12（cm）²，
又∵BC+AC=

105

cm，
∴（BC+AC）²-2BC•AC=BC²+AC²=105-2×12=81（cm）²，
∴AB=2BE=2×

BC2 4 + AC2 4

=9cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的判定和性質(zhì)，以及正方形的判定，有一定難度，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法及性質(zhì)并靈活運(yùn)用．