【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,AB=6,BC=8,點E在線段AD上,把ABE沿直線BE翻折,點A落在點A′,EA′的延長線交BC于點F,

(1)如圖(1),求證:FE=FB;

(2)當點E在邊AD上移動時,點A′的位置也隨之變化,

①當點A′恰好落在線段BD上時,如圖(2),求AE的長;

②在運動變化過程中,設AE=x,CF=y,求y與x的函數(shù)關系式,試判斷EF能否平分矩形ABCD的面積?若能,求出x的值;若不能,則說明理由;

(3)當點E在邊AD上運動時,點D與點A′之間的距離也隨之變化,請直接寫出點D與點A′之間距離的變化范圍.

【答案】1)證明見解析(23;②不存在EF平分矩形ABCD的面積;(34≤A′D≤8

【解析】

試題分析:(1)證明AEB=A′EB,AEB=EBF,得到A′EB=EBF,證明結論;

(2)①根據(jù)相似三角形的判定證明DA′E∽△DAB,得到成比例線段,代入已知的值,求出AE的長;

②根據(jù)勾股定理,得到y(tǒng)與x的關系式;假設EF能平分矩形ABCD的面積,進行計算,然后判斷即可;

(3)根據(jù)當A′在BD上時,A′D最小,當E與A重合時,A′D最大,確定點D與點A′之間距離的變化范圍.

(1)證明:∵△A′BEABE翻折而得∴∠AEB=A′EB,

四邊形ABCD為矩形,

ADBC,

∴∠AEB=EBF,

∴∠A′EB=EBF,

FE=FB

(2)解:①由(1)得:EA′D=90°,A′E=AE,

設AE=x,則A′E=x,ED=8﹣x,

DA′EDAB中,

A′DE=ADBDA′E=A=90°,

∴△DA′E∽△DAB,

=,

在R tABD中,AB=6,AD=8,

BD=10

=,

解得,x=3,

AE=3

②在RtA′BF中,BF=8﹣y,

則A′F=8﹣y﹣x,又A′B=6,

由勾股定理得:62+(8﹣y﹣x)2=(8﹣y)2,

即y=8﹣

當EF能平分矩形ABCD的面積時,y=x,

則x=8﹣,

整理得:3x2﹣16x+36=0,

﹣162﹣4×3×36<0,

方程無解,

不存在EF平分矩形ABCD的面積.

(3)解:由題意得,當A′在BD上時,A′D最小,

由①得,A′E=AE=3,DE=8﹣3=5,

由勾股定理,A′D=4,

即A′D最小值為4,

當E與A重合時,A′D最大為8,

4≤A′D≤8

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