設(shè)A,A1,…,An-1依次是面積為整數(shù)的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn),考慮由連續(xù)的若干個(gè)頂點(diǎn)連成的凸多邊形,如四邊形A3A4A5A6、七邊形An-2An-1AA1A2A3A4等,如果所有這樣的凸多邊形的面積之和是231,那么n的最大值是 ,此時(shí)正n邊形的面積是 .
【答案】
分析:先通過(guò)找規(guī)律找出P與n的關(guān)系式 P=
n
2-
n+1,再化為P=
(n-
)
2+
,由于n≥3,故P值越大,n取值越大. 在凸多邊形面積之和為231時(shí),由于正n邊形的面積為整數(shù),故其面積取最小值1時(shí),P值最大,從而得出關(guān)于n的方程求解即可.
解答:解:用找規(guī)律找出P與n的關(guān)系式
不難發(fā)現(xiàn),P與n有下表所列的關(guān)系
n | 3 | 4 | 5 | 6 |
P | 1 (0+1)=(3-3)×3÷2+1 | 3 (2+1)=(4-3)×4÷2+1 | 6 (5+1)=(5-3)×5÷2+1 | 10 (6+3+1)=(6-3)×6÷2+1 |
因此,P=(n-3)•n÷2+1,即P=
n
2-
n+1.
P=
n
2-
n+1可以化為P=
(n-
)
2+
,
由于n≥3,故P值越大,n取值越大.
在凸多邊形面積之和為231時(shí),由于正n邊形的面積為整數(shù),
故其面積取最小值1時(shí),P值最大
代入各值,得:231÷1=
n
2-
n+1,
整理得:n
2-3n-460=0
解得n=23或n=-20(不合題意,舍去)
故n=23為最大值,此時(shí)正23邊形的面積為1.
故答案為:23,1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了面積及等積變換,解題的關(guān)鍵是得出P與n的關(guān)系式,確定面積取最小值1時(shí),P值最大.