Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+mx（m＞0且m≠1）與x軸交于原點O和點A，點B的坐標為（1，-1），連結(jié)AB，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，連結(jié)OB、OC．
（1）求點A的橫坐標．（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）若m=3，則點C的坐標為（2，2）．
（3）當點C與拋物線的頂點重合時，求四邊形ABOC的面積．
（4）結(jié)合m的取值范圍，直接寫出∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可．
（2）如圖1中，只要證明△ADB≌△CEA即可解決問題．
（3）如圖2中，由△ADB≌△CEA可得點C坐標，再利用拋物線頂點坐標公式列出方程即可解決問題．
（4）分兩種情形：①O＜m＜1，②m＞1，畫出圖形構(gòu)造全等三角形即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+mx與x軸交于點A，
∴-x²+mx=0，解得x=0或m，
∴點A的橫坐標為m．
（2）如圖1中，∵m=3，
∴點A坐標為（3，0），
作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DBA}\\{∠CEA=∠BDA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD=AE=1，AD=CE=2，
∴點C坐標（2，2）．
（3）如圖2中，作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
由（2）可知△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，AD=CE
∵B（1，-1），A（m，0），
∴OE=m-1，CE=m-1，
∴C（m-1，m-1），
∵點C（m-1，m-1）與拋物線的頂點（$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$）重合，
∴m-1=$\frac{m}{2}$，
∴m=2．
∴S_{四邊形ABOC}=$\frac{1}{2}$×2×（1+1）=2．
（4）①如圖3中，當O＜m＜1時，∠AOC=135°，理由如下：

作CN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M．
∵∠NAC+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠NAC=∠ABM，
在△ACN和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAC=∠ABM}\\{∠CNA=∠AMB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BAM，
∴BM=AN=1，CN=AM，
∴AN=OM=1，
∴ON=CN，
∴∠NOC=∠NC0=45°，
∴∠AOC=135°
②當m＞1時，∠AOC=45°，理由如下：

作CN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M，∵△ACN≌△BAM，
∴BM=AN=OM=1，AM=CN，
∴ON=AM=CN，∵∠ONC=90°，
∴∠COA=45°．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會分類討論，需要之前畫出圖形，屬于中考壓軸題．