Question

如圖，點(diǎn)A（1，1），B（3，1），C（3，-1），D（1，-1）構(gòu)成正方形ABCD，以AB為邊做等邊△ABE，則∠ADE和點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為（ ）
A．15°和（2，1+）
B．75°和（2，-1）
C．15°和（2，1+）或75°和（2，-1）
D．15°和（2，1+）或75°和（2，1-）

Answer 1

【答案】分析：分為兩種情況：①當(dāng)△ABE在正方形ABCD外時(shí)，過E作EM⊥AB于M，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AM、AE，根據(jù)勾股定理求出EM，即可得出E的坐標(biāo)，求出∠EAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)即可求出∠ADE；②當(dāng)?shù)冗叀鰽BE在正方形ABCD內(nèi)時(shí)，同法求出此時(shí)E的坐標(biāo)，求出∠DAE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)即可求出∠ADE．
解答：解：
分為兩種情況：①△ABE在正方形ABCD外時(shí)，如圖，過E作EM⊥AB于M，
∵等邊三角形ABE，
∴AE=AB=3-1=2，
∴AM=1，
由勾股定理得：AE²=AM²+EM²，
∴2²=1²+EM²，
∴EM=，
∵A（1，1），
∴E的坐標(biāo)是（2，1+），
∵等邊△ABE和正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-90°-60°）=15°；
②同理當(dāng)△ABE在正方形ABCD內(nèi)時(shí)，同法求出E的坐標(biāo)是（2，-+1），
∵∠DAE=90°-60°=30°，
AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）=75°；
∴∠ADE和點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為15°，（2，1+）或75°，D（2，-+1），
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)、正方形性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，但題型較好，注意要分類討論�。�