【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D是AB的中點,點E是AB邊上一點.
(1)直線BF垂直于CE于點F,交CD于點G(如圖l),求證:AE=CG;

(2)直線AH垂直于CE,垂足為H,交CD的延長線于點M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段(不需要添加輔助線),并說明理由.

【答案】
(1)解:∵點D是AB中點,AC=BC,

∠ACB=90°,

∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,

∴∠CAD=∠CBD=45°,

∴∠CAE=∠BCG,

又∵BF⊥CE,

∴∠CBG+∠BCF=90°,

又∵∠ACE+∠BCF=90°,

∴∠ACE=∠CBG,

在△AEC和△CGB中,

,

∴△AEC≌△CGB(ASA),

∴AE=CG


(2)解:BE=CM.

理由:∵CH⊥HM,CD⊥ED,

∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,

∴∠CMA=∠BEC,

又∵∠ACM=∠CBE=45°,

在△BCE和△CAM中,

,

∴△BCE≌△CAM(AAS),

∴BE=CM


【解析】(1)首先根據(jù)點D是AB中點,∠ACB=90°,可得出∠ACD=∠BCD=45°,判斷出△AEC≌△CGB,即可得出AE=CG;(2)根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,再根據(jù)AC=BC,∠ACM=∠CBE=45°,得出△BCE≌△CAM,進而證明出BE=CM.
【考點精析】利用等腰直角三角形對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若線段CD以每秒3個單位的速度向右勻速運動,當(dāng)點D運動到A時,線段CD與線段AB開始有重疊部分,此時線段CD運動了秒;
(3)在(2)的條件下,線段CD繼續(xù)向右運動,問再經(jīng)過秒后,線段CD與線段AB不再有重疊部分;
(4)若線段AB、CD同時從圖中位置出發(fā),線段AB以每秒2個單位的速度向左勻速運動,線段CD仍以每秒3個單位的速度向右勻速運動,點P是線段CD的中點,問運動幾秒時,點P與線段AB兩端點(AB)的距離為1個單位?

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