【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B的坐標(biāo)分別為A(0,α),B(b,α),且α、b滿足(a﹣2)2+|b﹣4|=0,現(xiàn)同時將點A,B分別向下平移2個單位,再向左平移1個單位,分別得到點A,B的對應(yīng)點C,D,連接AC,BD,AB.
(1)求點C,D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD
(2)在y軸上是否存在一點M,連接MC,MD,使S△MCD=S四邊形ABDC?若存在這樣一點,求出點M的坐標(biāo),若不存在,試說明理由.
(3)點P是線段BD上的一個動點,連接PA,PO,當(dāng)點P在BD上移動時(不與B,D重合)的值是否發(fā)生變化,并說明理由.
【答案】(1)S四邊形ABDC=8;(2)存在,M(0,4)或(0,﹣4);(3)不變,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)先由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a=2,b=4,再根據(jù)平移規(guī)律,得出點C,D的坐標(biāo),然后根據(jù)四邊形ABDC的面積=AB×OA即可求解;
(2)存在.設(shè)M坐標(biāo)為(0,m),根據(jù)S△PAB=S四邊形ABDC,列出方程求出m的值,即可確定M點坐標(biāo);
(3)過P點作PE∥AB交OC與E點,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO,故比值為1.
解:(1)∵(a﹣2)2+|b﹣4|=0,
∴a=2,b=4,
∴A(0,2),B(4,2).
∵將點A,B分別向下平移2個單位,再向左平移1個單位,分別得到點A,B的對應(yīng)點C,D,
∴C(﹣1,0),D(3,0).
∴S四邊形ABDC=AB×OA=4×2=8;
(2)在y軸上存在一點M,使S△MCD=S四邊形ABCD.設(shè)M坐標(biāo)為(0,m).
∵S△MCD=S四邊形ABDC,
∴×4|m|=8,
∴2|m|=8,
解得m=±4.
∴M(0,4)或(0,﹣4);
(3)當(dāng)點P在BD上移動時,=1不變,理由如下:
過點P作PE∥AB交OA于E.
∵CD由AB平移得到,則CD∥AB,
∴PE∥CD,
∴∠BAP=∠APE,∠DOP=∠OPE,
∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO,
∴=1.
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【題目】如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點A落在四邊形BCED的外部時,則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變,請試著找一找這個規(guī)律,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( )
A. 2∠A=∠1﹣∠2 B. 3∠A=2(∠1﹣∠2)
C. 3∠A=2∠1﹣∠2 D. ∠A=∠1﹣∠2
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【題目】為解決江北學(xué)校學(xué)生上學(xué)過河難的問題,鄉(xiāng)政府決定修建一座橋,建橋過程中需測量河的寬度(即兩平行河岸AB與MN之間的距離).在測量時,選定河對岸MN上的點C處為橋的一端,在河岸點A處,測得∠CAB=30°,沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處,在B處測得∠CBA=60°,請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出河的寬度.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,結(jié)果保留整數(shù))
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【題目】下列命題:①一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形;②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;③在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=DC,那么這個四邊形ABCD是平行四邊形;④一組對邊相等,一組對角相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_________________(將命題的序號填上即可)
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【題目】如圖,△ABC和△FPQ均是等邊三角形,點D、E、F分別是△ABC三邊的中點,點P在AB邊上,連接EF、QE.若AB=6,PB=1,則QE= .
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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(3,4),B(3,﹣1),C(﹣3,﹣2),D(﹣2,3)
(1)在圖上畫出四邊形ABCD,并求四邊形ABCD的面積;
(2)若P為四邊形ABCD形內(nèi)一點,已知P坐標(biāo)為(﹣1,1),將四邊形ABCD通過平移后,P的坐標(biāo)變?yōu)椋?/span>2,﹣2),根據(jù)平移的規(guī)則,請直接寫出四邊形ABCD平移后的四個頂點的坐標(biāo).
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【題目】南山植物園中現(xiàn)有A、B兩個園區(qū),已知A園區(qū)為長方形,長為(x+y)米,寬為(x﹣y)米;B園區(qū)為正方形,邊長為(x+3y)米.
(1)請用代數(shù)式表示A、B兩園區(qū)的面積之和并化簡;
(2)現(xiàn)根據(jù)實際需要對A園區(qū)進(jìn)行整改,長增加(11x﹣y)米,寬減少(x﹣2y)米,整改后A區(qū)的長比寬多350米,且整改后兩園區(qū)的周長之和為980米.
①求x、y的值;
②若A園區(qū)全部種植C種花,B園區(qū)全部種植D種花,且C、D兩種花投入的費用與吸引游客的收益如表:
求整改后A、B兩園區(qū)旅游的凈收益之和.(凈收益=收益﹣投入)
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【題目】探索與運用:
(1)基本圖形:如圖①,已知OC是∠AOB的角平分線,DE∥OB,分別交OA、OC于點D、E.求證:DE=OD;
(2)在圖②中找出這樣的基本圖形,并利用(1)中的規(guī)律解決這個問題:已知△ABC中,兩個內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線交于點O,過點O作DE∥BC,交AB、AC于點D、E.求證:DE=BD+CE;
(3)若將圖②中兩個內(nèi)角的角平分線改為一個內(nèi)角(如圖③,∠ABC)、一個外角(∠ACF)和兩個都是外角(如圖④∠DBC、∠BCE)的角平分線,其它條件不變,則線段DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系分別是:圖③為 、圖④為 :并從中任選一個結(jié)論證明.
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